ベルヌーイ分布
ベルヌーイ試行，すなわち，成功または失敗等で表される2種類の可能な結果が生じる試行を行ったときに，どちらか一方 (多くの場合，成功) が生起する回数の分布が従う確率分布をベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) という．二項分布との違いは，二項分布がベルヌーイ試行を独立にn回繰り返したときに，生起確率がpである片方の結果がx回生じる確率が従う分布であるのに対し，ベルヌーイ分布は試行回数が1回 (n=1) のみのときにおいて片方の結果が生起する確率が従う分布である点である．パラメーター (母数) は一方の結果の生起確率pである．ベルヌーイ分布は Ber(p) にて略記される．確率質量関数は以下で与えられる．ここでqはもう一方の結果の1回の試行における生起確率 (1-p) のことである．
\begin{eqnarray*}f(x)=p^xq^{1-x}\tag{1}\end{eqnarray*}
確率変数Xの範囲は，0または1である．
\begin{eqnarray*}x=0,\ 1\tag{2}\end{eqnarray*}
モーメント母関数は以下で与えられる．
\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(e^{tx})\\&=&\sum_{x=0}^{1}e^{tx}p^xq^{1-x}\\&=&pe^t+q\tag{3}\end{eqnarray*}
期待値は以下で与えられる値である．これは単に成功の確率 p であり，直感的に理解しやすい．
\begin{eqnarray*}E(X)=p\tag{4}\end{eqnarray*}
分散は以下の式で与えられる．
\begin{eqnarray*}V(X)=pq\tag{5}\end{eqnarray*}
期待値および分散の導出
期待値および分散はモーメントを利用して求める．まず，モーメント母関数の1階微分および2階微分は以下のようになる．
\begin{eqnarray*}M_X'(t)=M_X''(t)=pe^t\tag{6}\end{eqnarray*}
従って，原点まわりの1次モーメントおよび2次モーメントは以下のようになる．
\begin{eqnarray*}M_X'(0)=M_X''(0)=p\tag{7}\end{eqnarray*}
以上より，原点まわりの1次モーメントを用いて期待値は以下のように求まる．
\begin{eqnarray*}E(X)=M_X'(0)=p\tag{8}\end{eqnarray*}
分散は原点まわりの1次モーメントおよび2次モーメントを用いて以下のように求める．
\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-[E(X)]^2\\&=&M_X''(0)-[M_X'(0)]^2\\&=&p-p^2\\&=&pq\tag{9}\end{eqnarray*}