モーメント母関数

モーメント母関数 (moment generating function) はすべての次数のモーメントを生成する関数である．この関数によってひとつの確率分布のすべてが決定される．モーメント母関数 M_X(t) は以下の式にて定義される．

\begin{eqnarray*}M_X(t)=E(e^X)\tag{1}\end{eqnarray*}

すなわち，確率変数X が連続確率変数のとき，モーメント母関数は以下の式で与えられる．

\begin{eqnarray*}\sigma^2=M_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx\tag{2}\end{eqnarray*}

一方，Xが離散確率変数の場合は以下の式で与えられる．

\begin{eqnarray*}M_X(t)=\sum_{x}e^{tx}f(x)\tag{3}\end{eqnarray*}

モーメント母関数の使い方は至って簡単である．行うことは，微分して0を代入することだけとなる．すなわち，変数tからなる M_X(t) をtで微分して t=0 を代入する．1階微分して t に0を代入すると確率変数Xの原点まわりの1次のモーメント μ₁ が，2階微分の後に t=0 を代入すると原点まわりの2次のモーメント μ₂ が得られる．すなわち，以下で示される，モーメント母関数の r階導関数に t=0 を代入した式から各次数の原点まわりのモーメントがわかる．

\begin{eqnarray*}M_X^{(r)}(0)=\mu_r\tag{4}\end{eqnarray*}

モーメント母関数の微分と t への0の代入にて各次数のモーメントが求まることは以下のように証明できる．まず，最初の式 M_X(t)=E(e^X) の括弧内を以下のようにテイラー展開する．

\begin{eqnarray*}M_X(t)=E(1+tX+\frac{t^2}{2!}X^2+\frac{t^3}{3!}X^3+\dotsb)\tag{5}\end{eqnarray*}

この式を変換するために以下の期待値の変換公式を考える．

\begin{eqnarray*}E(c)=c\tag{6}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}E(X+c)=E(X)+c\tag{7}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}E(cX)=cE(X)\tag{8}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}E(X+Y)=E(X)+E(Y)\tag{9}\end{eqnarray*}

これらを利用することで式5は以下のように変形される．

\begin{eqnarray*}M_X(t)=1+tE(X)+\frac{t^2}{2!}E(X^2)+\frac{t^3}{3!}E(X^3)+\dotsb\tag{10}\end{eqnarray*}

ここで，原点まわりのr次のモーメント μ_r は μ_r=E(X^r) で定義される値であるので，この関係を用いると上式はさらに以下のように変形できる．

\begin{eqnarray*}M_X(t)=1+t\mu_1+\frac{t^2}{2!}\mu_2+\frac{t^3}{3!}\mu_3+\dotsb\tag{11}\end{eqnarray*}

すなわち，モーメント母関数 M_X(t) は t に関する展開式の係数に各次数の原点まわりのモーメントを有する．つまり，この式を r階微分すれば r より低次の項が消え，その後に t=0 を代入すると，r次以外の高次の項も消えることになる．以上がモーメント母関数の r階微分と t への0の代入により r次のモーメントが生成される理由となる．

モーメント

モーメント母関数

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