期待値および分散の周辺公式
あるデータXに関する期待値E(X) および分散V(X) には以下で示される関係性がある．以下において，変数X および Y に対して c は定数である．
期待値は離散型および連続型の変数X に対し，f(x) を確率密度関数としてそれぞれ以下で与えられる値である．
\begin{eqnarray*}E(X)=\sum_{x}xf(x)\tag{1}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx\tag{2}\end{eqnarray*}
以上で与えられる期待値"E(X)"について，以下の変換公式が成り立つ．
\begin{eqnarray*}E(c)=c\tag{3}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}E(X+c)=E(X)+c\tag{4}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}E(cX)=cE(X)\tag{5}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}E(X+Y)=E(X)+E(Y)\tag{6}\end{eqnarray*}
以上に加えて，変数XおよびYが互いに独立である場合のみ，以下の公式が成り立つ．ここで，E(XY)-E(X)E(Y) は変数X および Y の共分散そのものであり，以下の式が成り立つということは変数X および Y の共分散が0であることを意味する．
\begin{eqnarray*}E(XY)=E(X)E(Y)\tag{7}\end{eqnarray*}
次に，分散は V(X) で表され，離散型および連続型の変数X に対してそれぞれ以下で与えられる値である．μ は変数Xの平均値，すなわち期待値である．
\begin{eqnarray*}V(X)=\sum_{x}(x-\mu)^2f(x)\tag{8}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx\tag{9}\end{eqnarray*}
以上で与えられる期待値 V(X) について，以下の変換公式が成り立つ．
\begin{eqnarray*}V(c)=0\tag{10}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}V(X+c)=V(X)\tag{11}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}V(cX)=c^2V(X)\tag{12}\end{eqnarray*}
以上に加えて，変数XおよびYが互いに独立である場合のみ，以下の公式が成り立つ．ここで，V(X±Y) は本来は Cov(X, Y) を変数X および Y の共分散としたときに，V(X±Y)=V(X)+V(Y)±2Cov(X, Y) で与えられるが，上の E(XY)=E(X)E(Y) で示されるように変数XおよびYが独立である場合はそれらの共分散が0になるために以下の式が成り立つことになる．
\begin{eqnarray*}V(X\pm Y)=V(X)+V(Y)\tag{13}\end{eqnarray*}