二変量統計検定

正規分布に従う変数X およびＹの差の検定はそれらの2変量が以下の公式および分布に従うことを利用して行う．変数が正規分布に従うか否かはコルモゴロフ・スミルノフ検定やシャピロ・ウィルク検定等にて判断することができる．各変数に正規分布に従うと判断出来る場合，t検定は以下の4つの場合に分けることができる．最初に，変数Xと変数Yに対応がある場合である．さらに，対応がない場合は，以下の3つに場合分けされる．ひとつ目は，変数Xと変数Yの母分散が既知の場合である．普通は検定対象の母分散だけが判っていることは極めて稀なので，これを考える機会は少ない．次が，変数Xと変数Yの分散が等しいと仮定できる場合である．これはスチューデントのt検定で計算できる．最後が，変数Xと変数Yの分散が等しいとは仮定できない場合である．これはWelchのt検定で計算できる．変数XおよびYの2変数に等分散性が仮定できるか否かは，F検定，ハートレイ検定，バートレット検定およびルビーン検定等にて判断することができる (実際は検定の繰り返しになるので慎重に扱う)．

変数Xと変数Yに対応がある場合
1以外で，変数Xと変数Yの母分散が既知の場合
1以外で，変数Xと変数Yの分散が等しいと仮定できる場合
1以外で，変数Xと変数Yの分散が等しいとは仮定できない場合

最初に，1ケースである変数XとYに対応がある場合は以下の統計量Tが自由度 n-1 の t分布に従うことを利用する．n は各変数のサンプルサイズ．

\begin{eqnarray*}T=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{{u_{d}} \bigm / {\sqrt{n}}}\tag{1}\end{eqnarray*}

このとき，u_d は変数X と変数Y の各サンプル間の差の不偏分散であり，以下の式で与えられる．ここで，d_i は変数X と変数Y の各サンプル x_i および y_i の差であり，d は d_i の平均値である．

\begin{eqnarray*}u_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(d_i-\overline{d})^2}\tag{2}\end{eqnarray*}

次に，2のケースである，変数Xと変数Yの母分散が既知の場合は，以下の統計量Tが標準正規分布 N(0, 1²) に従うことを利用する．変数Xのサンプルサイズがn，母分散がσ_x²であり，変数Yのサンプルサイズがm，母分散がσ_y²である．

\begin{eqnarray*}T=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{n}+\frac{\sigma_y^2}{m}}}\tag{3}\end{eqnarray*}

次に，3のケース，変数Xと変数Yの分散が等しいと仮定できる場合，すなわち，変数Xと変数Yが等分散である場合は，以下の統計量Tが自由度 n+m-2 のt分布に従うことを利用する．

\begin{eqnarray*}T=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})u_{xy}^2}}\tag{4}\end{eqnarray*}

ここで，u_xy²は以下の式で与えられる値である．nおよびmはそれぞれ変数XおよびYのサンプルサイズであり，u_x²およびu_y²は変数XおよびYの不偏分散である．

\begin{eqnarray*}u_{xy}=\frac{(n-1)u_x^2+(m-1)u_y^2}{n+m-2}\tag{5}\end{eqnarray*}

最後に，4のケースである，変数Xと変数Yの分散が等しいとは仮定できない場合，すなわち，変数Xと変数Yが等分散であるとは仮定できない場合は，以下の統計量Tが自由度 l のt分布に従うことを利用する．

\begin{eqnarray*}T=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{u_x^2}{n}+\frac{u_y^2}{m}}}\tag{6}\end{eqnarray*}

ここで，自由度 l は以下の式で与えられる．得られる値が整数でない場合は四捨五入する．

\begin{eqnarray*}l=\frac{(\frac{u_x^2}{n}+\frac{u_y^2}{m})^2}{\frac{u_x^4}{n^2(n-1)}+\frac{u_y^4}{m^2(m-1)}}\tag{7}\end{eqnarray*}

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二変量統計検定

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