理論関連事項

統計学の基本事項,確率分布の詳細,各種データ解析法の理論的背景について.

代表値および分散に加えて,確率分布の形状を表す指標に歪度 (skewness) と尖度 (kurtosis) がある.歪度は分布の非対称性を示す指標であり,尖度は分布の尖り具合を示す指標である.

確率変数X の期待値を μ,分散を σ2 とし,さらに,X の平均まわりの r次のモーメントを μr' とした場合,分布の歪度 β1 は以下の式で定義される.

\begin{eqnarray*}\beta_1^{\frac{1}{2}}=\frac{\mu_3'}{\sigma^3}\tag{1}\end{eqnarray*}

すなわち,歪度は以下で示される変数 X-μ/σ の原点まわりの3次のモーメントと等しい.

\begin{eqnarray*}\beta_1^{\frac{1}{2}}=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right]\tag{2}\end{eqnarray*}

また,以上の式 (の一部) は以下のように変形できるので,モーメント母関数を用いて求めた原点まわりのモーメントから簡単に求めることが可能である.

\begin{eqnarray*}E[(X-\mu)^3]=E(X^3)-3\mu E(X^2)+2\mu^3\tag{3}\end{eqnarray*}

歪度 β11/2 が0のとき,その分布は左右対称である.一方で,β11/2 > 0 が成り立つときの分布は右側に長く裾を引く分布であり,右に歪んだ分布,または正の歪みを持つ分布とよばれる.

上と同様に,確率変数X の期待値を μ,分散を σ2 とし,さらに,X の平均まわりの r次のモーメントを μr' とした場合,分布の尖度 β2 は以下の式で定義される.3を引かない場合を尖度とする場合もある.正規分布の尖度が3であるので,正規分布との比較のために3が引かれている.

\begin{eqnarray*}\beta_2=\frac{\mu_4'}{\sigma^4}-3\tag{4}\end{eqnarray*}

すなわち,尖度は以下で示される変数 X-μ/σ の原点まわりの4次のモーメント (から3を引いた値) と等しい.

\begin{eqnarray*}\beta_2=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right]-3\tag{5}\end{eqnarray*}

また,以上の式 (の一部) は以下のように変形できるので,モーメント母関数を用いて求めた原点まわりのモーメントから簡単に求めることができる.

\begin{eqnarray*}E[(X-\mu)^4]=E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2E(X^2)-3\mu^4-3\tag{6}\end{eqnarray*}

尖度β2 が0より大きい場合,正規分布より尖っており,すなわち両裾が厚い分布であり,急尖的 leptokurtic 分布とよばれ,0より小さい場合は正規分布より鈍っており,両裾が薄い分布であり,緩尖的 platykurtic 分布とよばれる.これらの歪度および尖度は得られた未知の分布に対して計算することで,その値が,正規分布のそれより明らかに大きいまたは小さいとき,その分布が正規分であるのかどうかを判断する際に利用されることがある.

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