ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定 (Wilcoxon signed rank test) とはノンパラメトリック検定のひとつである．名前が似ているウィルコクソンの順位和検定とは異なる検定法なので注意が必要．どちらも2つのデータ間における代表値 (中央値) の差を検定する方法であるが，符号順位検定は得られた2つのデータ間に対応があるときに用いる検定法である．すなわち，ウィルコクソンの順位和検定は，パラメトリック検定でいうところのスチューデントのt検定とかウェルチのt検定に相当するものであり，ウィルコクソンの符号順位検定は，パラメトリック検定でいうところの対応のあるt検定に相当するものであるといえる．パラメトリック検定であるt検定等とは異なり，得られたデータに正規性を仮定できないときに用いられる．本検定法では他のノンパラメトリック検定と同様に，データを順位化して統計的推定を行う．以下に示されるような，それぞれがサンプルサイズ N からなる対応のあるデータXおよびデータYが得られた場合，実際の検定は以下のように行う．帰無仮説 (H₀) は2群間の代表値に差がないことである．

データX	X₁, X₂, X₃, ..., X_N
データY	Y₁, Y₂, Y₃, ..., Y_N

まず，以上のデータ1および2の対応するサンプルの値の差からなるデータの差Dを作成する．この部分は対応のあるt検定に似ている．

データの差の絶対値D

|X₁-Y₁|, |X₂-Y₂|, |X₃-Y₃|, ..., |X_N-Y_N|

次に，以上のデータＸ_iおよびY_i (i=1, 2, 3, ..., N) の差の絶対値Dの小さい順に順位を割り当てる．もし同順位を持つ要素が存在する場合は，順位の平均を計算し，その順位の平均を各要素に割り当てる．例えば，ふたつの値が互いに10位タイであった場合は， (10+11)/2 を計算し，それらの値両方に10.5位を割り当てる．また，X_i=Y_i の場合には順位は付けない．このようなルールにて順位 r_i を割り当てることでデータの差の絶対値Dは以下のように順位に変換される．ここで，順位を付けない場合はその分だけ標本数は減る (N → N')．

データの差の絶対値D

r₁, r₂, r₃, ..., r_N'

このようにして付けた順位から今度は統計量Wおよび w を求める．統計量WはＸ_i>Y_i が満たされるときの順位の合計値，統計量wはＸ_i<Y_i が満たされるときの順位の合計値である．これが本検定法が符号順位検定と名付けられた所以となる．この統計量Wおよび w を比較したときにより小さい値が最終的に求める統計量Tとなる．

\begin{eqnarray*}T=\mathrm{min}(W,\ w)\tag{1}\end{eqnarray*}

以上によって求められた統計量Tがウィルコクソンの符号順位検定数表における棄却限界値以下のとき帰無仮説を棄却する．すなわち，2群間の母代表値には差があると結論する．ただし，以上の方法はデータXおよびYにおいて，X_iおよびY_iの値が異なるときのサンプルサイズ N' が N'≤25 を満たすときに行う．もし，N'>25の場合は以下の統計量Zを考える．

\begin{eqnarray*}Z=\frac{\displaystyle\left|T-\frac{N(N+1)}{4}\right|}{\sqrt{\displaystyle\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}\tag{2}\end{eqnarray*}

以上の統計量Zは近似的に標準正規分布 N(0, 1) に従う値である．よって，両側検定で有意水準 α=0.05 での検定を行いたい場合はこの統計量Zが1.96以上 (標準正規分布の数表から求める) の場合，帰無仮説を棄却する．すなわち，2群間の母代表値には差があると結論する．ウィルコクソンの符号順位検定の数表は以下のようになる．

N'	両側 α=0.05	両側 α=0.01	片側 α=0.05	片側 α=0.01
5	-	-	0	-
6	0	-	2	-
7	2	-	3	0
8	3	0	5	1
9	5	1	8	3
10	8	3	10	5
11	10	5	13	7
12	13	7	17	9
13	17	9	21	12
14	21	12	25	15
15	25	15	30	19
16	29	19	35	23
17	34	23	41	27
18	40	27	47	32
19	46	32	53	37
20	52	37	60	43
21	58	42	67	49
22	65	48	75	55
23	73	54	83	62
24	81	61	91	69
25	89	68	100	76

対応のあるのt検定

ウィルコクソンの順位和検定

Rによるウィルコクソンの符号順位検定

N'	両側 α=0.05	両側 α=0.01	片側 α=0.05	片側 α=0.01
5	-	-	0	-
6	0	-	2	-
7	2	-	3	0
8	3	0	5	1
9	5	1	8	3
10	8	3	10	5
11	10	5	13	7
12	13	7	17	9
13	17	9	21	12
14	21	12	25	15
15	25	15	30	19
16	29	19	35	23
17	34	23	41	27
18	40	27	47	32
19	46	32	53	37
20	52	37	60	43
21	58	42	67	49
22	65	48	75	55
23	73	54	83	62
24	81	61	91	69
25	89	68	100	76

N'	両側 α=0.05	両側 α=0.01	片側 α=0.05	片側 α=0.01
5	-	-	0	-
6	0	-	2	-
7	2	-	3	0
8	3	0	5	1
9	5	1	8	3
10	8	3	10	5
11	10	5	13	7
12	13	7	17	9
13	17	9	21	12
14	21	12	25	15
15	25	15	30	19
16	29	19	35	23
17	34	23	41	27
18	40	27	47	32
19	46	32	53	37
20	52	37	60	43
21	58	42	67	49
22	65	48	75	55
23	73	54	83	62
24	81	61	91	69
25	89	68	100	76

ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定

関連事項

N'	両側 α=0.05	両側 α=0.01	片側 α=0.05	片側 α=0.01
5	-	-	0	-
6	0	-	2	-
7	2	-	3	0
8	3	0	5	1
9	5	1	8	3
10	8	3	10	5
11	10	5	13	7
12	13	7	17	9
13	17	9	21	12
14	21	12	25	15
15	25	15	30	19
16	29	19	35	23
17	34	23	41	27
18	40	27	47	32
19	46	32	53	37
20	52	37	60	43
21	58	42	67	49
22	65	48	75	55
23	73	54	83	62
24	81	61	91	69
25	89	68	100	76