母分散の推定

母集団の平均が既知のとき，標準正規分布に従う母集団から n 個の標本を取り出したときに得られる以下のような統計量V，すなわち，n 個のデータの2乗の和は自由度n のカイ二乗分布に従う．

\begin{eqnarray*}V=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\mu}{\sigma})^2\tag{1}\end{eqnarray*}

また，平均 μ および分散 σ² が未知のの正規分布に従う母集団から n 個の標本を取り出したとき，取り出した標本のそれぞれの値をZ変換した2乗の和である以下の統計量W は自由度 n-1 のカイ二乗分布に従う．

\begin{eqnarray*}W=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma})^2\tag{2}\end{eqnarray*}

以上の計算で得られた V または W が自由度 n または n-1 のカイ二乗分布に従うことを利用し95%または99%信頼区間を予測するための不等式を立てる．例えば，平均および分散 σ² が未知のの正規分布に従う母集団から8個の標本を取り出したとき，母分散の値を95%の信頼区間で予測するには以下のようにする．左右の数値は以下のカイ二乗分布表より取得する．

\begin{eqnarray*}1.69\leq W=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma})^2\leq 16.01\tag{3}\end{eqnarray*}

自由度	0.995	0.975	0.950	0.900	0.100	0.05	0.025	0.005
1	0.00003927	0.0009821	0.003932	0.01579	2.706	3.841	5.024	7.879
2	0.01003	0.05064	0.1026	0.2107	4.605	5.991	7.378	10.6
3	0.07172	0.2158	0.3518	0.5844	6.251	7.815	9.348	12.84
4	0.207	0.4844	0.7107	1.064	7.779	9.488	11.14	14.86
5	0.4117	0.8312	1.145	1.61	9.236	11.07	12.83	16.75
6	0.6757	1.237	1.635	2.204	10.64	12.59	14.45	18.55
7	0.9893	1.69	2.167	2.833	12.02	14.07	16.01	20.28
8	1.344	2.18	2.733	3.49	13.36	15.51	17.53	21.95
9	1.735	2.7	3.325	4.168	14.68	16.92	19.02	23.59
10	2.156	3.247	3.94	4.865	15.99	18.31	20.48	25.19
11	2.603	3.816	4.575	5.578	17.28	19.68	21.92	26.76
12	3.074	4.404	5.226	6.304	18.55	21.03	23.34	28.3
13	3.565	5.009	5.892	7.042	19.81	22.36	24.74	29.82
14	4.075	5.629	6.571	7.79	21.06	23.68	26.12	31.32
15	4.601	6.262	7.261	8.547	22.31	25	27.49	32.8
16	5.142	6.908	7.962	9.312	23.54	26.3	28.85	34.27
17	5.697	7.564	8.672	10.09	24.77	27.59	30.19	35.72
18	6.265	8.231	9.39	10.86	25.99	28.87	31.53	37.16
19	6.844	8.907	10.12	11.65	27.2	30.14	32.85	38.58
20	7.434	9.591	10.85	12.44	28.41	31.41	34.17	40
21	8.034	10.28	11.59	13.24	29.62	32.67	35.48	41.4
22	8.643	10.98	12.34	14.04	30.81	33.92	36.78	42.8
23	9.26	11.69	13.09	14.85	32.01	35.17	38.08	44.18
24	9.886	12.4	13.85	15.66	33.2	36.42	39.36	45.56
25	10.52	13.12	14.61	16.47	34.38	37.65	40.65	46.93
26	11.16	13.84	15.38	17.29	35.56	38.89	41.92	48.29
27	11.81	14.57	16.15	18.11	36.74	40.11	43.19	49.64
28	12.46	15.31	16.93	18.94	37.92	41.34	44.46	50.99
29	13.12	16.05	17.71	19.77	39.09	42.56	45.72	52.34
30	13.79	16.79	18.49	20.6	40.26	43.77	46.98	53.67
31	14.46	17.54	19.28	21.43	41.42	44.99	48.23	55
32	15.13	18.29	20.07	22.27	42.58	46.19	49.48	56.33
33	15.82	19.05	20.87	23.11	43.75	47.4	50.73	57.65
34	16.5	19.81	21.66	23.95	44.9	48.6	51.97	58.96
35	17.19	20.57	22.47	24.8	46.06	49.8	53.2	60.27
36	17.89	21.34	23.27	25.64	47.21	51	54.44	61.58
37	18.59	22.11	24.07	26.49	48.36	52.19	55.67	62.88
38	19.29	22.88	24.88	27.34	49.51	53.38	56.9	64.18
39	20	23.65	25.7	28.2	50.66	54.57	58.12	65.48
40	20.71	24.43	26.51	29.05	51.81	55.76	59.34	66.77
41	21.42	25.21	27.33	29.91	52.95	56.94	60.56	68.05
42	22.14	26	28.14	30.77	54.09	58.12	61.78	69.34
43	22.86	26.79	28.96	31.63	55.23	59.3	62.99	70.62
44	23.58	27.57	29.79	32.49	56.37	60.48	64.2	71.89
45	24.31	28.37	30.61	33.35	57.51	61.66	65.41	73.17
46	25.04	29.16	31.44	34.22	58.64	62.83	66.62	74.44
47	25.77	29.96	32.27	35.08	59.77	64	67.82	75.7
48	26.51	30.75	33.1	35.95	60.91	65.17	69.02	76.97
49	27.25	31.55	33.93	36.82	62.04	66.34	70.22	78.23
50	27.99	32.36	34.76	37.69	63.17	67.5	71.42	79.49

区間推定式

母分散の推定

母分散の推定

関連事項