ベータ関数とガンマ関数

ベータ関数は特殊関数のひとつであり，以下の式で定義される．ここで，a および b の範囲はそれぞれ，a > 0 および b > 0 である．統計分布では様々な確率分布において確率密度関数やその他の統計量を表現するために頻繁に用いられる．

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt\tag{1}\end{eqnarray*}

ベータ関数には以下の関係が成り立つ．

\begin{eqnarray*}B(a+1,b)=\frac{a}{a+b}B(a,b)\tag{2}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}B(a,b)=B(a+1,b)+B(a,b+1)\tag{3}\end{eqnarray*}

また，a および b が正の整数であるときは以下の関係が成り立つ．

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}\tag{4}\end{eqnarray*}

ベータ関数は以下の特殊値を有する．

\begin{eqnarray*}B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi\tag{5}\end{eqnarray*}

ガンマ関数も特殊関数のひとつであり，以下の式で定義される．ここで，a の範囲は a > 0 であるが，実部が正であれば複素数にも適応される．

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\tag{6}\end{eqnarray*}

ガンマ関数には以下の関係が成り立つ．

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=(a-1)\Gamma(a-1)\tag{7}\end{eqnarray*}

また，a が正の整数であるときは以下の関係が成り立つ．

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=(a-1)!\tag{8}\end{eqnarray*}

ガンマ関数の特殊値には以下のようなものがある．

\begin{eqnarray*}\Gamma(0)=1\tag{9}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\Gamma(1)=1\tag{10}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\tag{11}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\Gamma\left(a+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2a)!\sqrt{\pi}}{a!2^{2a}}\tag{12}\end{eqnarray*}

ベータ関数とガンマ関数の間には以下の関係がある．

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=B(b,a)\tag{13}\end{eqnarray*}

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