理論関連事項

統計学の基本事項,確率分布の詳細,各種データ解析法の理論的背景について.

確率変数X に対して,それを変換した確率変数 1/X や確率変数 logX の確率分布を求めるには以下のようにする.ここで,確率密度関数が f(x) で表される確率変数X に対して以下の確率変数Y を考える.このとき,この確率変数Y の確率密度関数 g(y) を求める.

\begin{eqnarray*}Y=\phi(X)\tag{1}\end{eqnarray*}

まず,変数y を以下の式で表す.関数 φ(x) は単調増加または単調減少関数である.

\begin{eqnarray*}y=\phi(x)\tag{2}\end{eqnarray*}

また,上式を x について解いた関数を以下のように表す.

\begin{eqnarray*}x=\psi(y)\tag{3}\end{eqnarray*}

このとき,確率変数Yの確率密度関数 g(y) は確率変数Xの確率密度関数 f(x) および上の ψ(y) を用いて以下のように与えられる.

\begin{eqnarray*}g(y)=f(\psi(y))\left|\frac{d\psi(y)}{dy}\right|\tag{4}\end{eqnarray*}

以上で確率変数の変換が可能である.さらに,シンプルに式を書き下すと以下のように表すことができ,その形を覚えやすい.

\begin{eqnarray*}g(y)=f(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|\tag{5}\end{eqnarray*}
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