理論関連事項

統計学の基本事項,確率分布の詳細,各種データ解析法の理論的背景について.

ベータ関数

ベータ関数は特殊関数のひとつであり,以下の式で定義される.ここで,a および b の範囲はそれぞれ,a > 0 および b > 0 である.統計分布では様々な確率分布において確率密度関数やその他の統計量を表現するために頻繁に用いられる.

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt\tag{1}\end{eqnarray*}

ベータ関数には以下の関係が成り立つ.

\begin{eqnarray*}B(a+1,b)=\frac{a}{a+b}B(a,b)\tag{2}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}B(a,b)=B(a+1,b)+B(a,b+1)\tag{3}\end{eqnarray*}

また,a および b が正の整数であるときは以下の関係が成り立つ.

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}\tag{4}\end{eqnarray*}

ベータ関数は以下の特殊値を有する.

\begin{eqnarray*}B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi\tag{5}\end{eqnarray*}

ガンマ関数

ガンマ関数も特殊関数のひとつであり,以下の式で定義される.ここで,a の範囲は a > 0 であるが,実部が正であれば複素数にも適応される.

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\tag{6}\end{eqnarray*}

ガンマ関数には以下の関係が成り立つ.

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=(a-1)\Gamma(a-1)\tag{7}\end{eqnarray*}

また,a が正の整数であるときは以下の関係が成り立つ.

\begin{eqnarray*}\Gamma(a)=(a-1)!\tag{8}\end{eqnarray*}

ガンマ関数の特殊値には以下のようなものがある.

\begin{eqnarray*}\Gamma(0)=1\tag{9}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}\Gamma(1)=1\tag{10}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\tag{11}\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}\Gamma\left(a+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2a)!\sqrt{\pi}}{a!2^{2a}}\tag{12}\end{eqnarray*}

ベータ関数とガンマ関数の関係式

ベータ関数とガンマ関数の間には以下の関係がある.

\begin{eqnarray*}B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=B(b,a)\tag{13}\end{eqnarray*}
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